Beregning Feil Bounds for Taylor polynomer

April 24  by Eliza

En Taylor polynom tilnærmet verdien av en funksjon, og i mange tilfeller, ita € ™ s nyttig å måle nøyaktigheten av en tilnærming. Denne informasjonen er gitt av Taylor resten sikt:

f (x) = T n (x) + R (x)

Legg merke til at tilsetningen av den resterende sikt R n (x) vender tilnærming inn i en ligning. Hereâ € ™ s formelen for resten sikt:

Beregning Feil Bounds for Taylor polynomer


Ita € ™ s viktig å være klar over at denne ligningen er sant for en bestemt verdi av c på intervallet mellom en og x. Det fungerer ikke for bare noen verdi av c på dette intervallet.

Ideelt resten sikt gir den nøyaktige forskjell mellom verdien av en funksjon og tilnærmelsen T n (x). Men fordi verdien av c er usikkert, i praksis resten sikt virkelig gir et worst-case scenario for din tilnærming.

Følgende eksempel skal bidra til å gjøre denne ideen klar, ved hjelp av den sjette-graders Taylor polynom for cos x:

Beregning Feil Bounds for Taylor polynomer


Anta at du bruker denne polynom å tilnærme cos 1:

Beregning Feil Bounds for Taylor polynomer


Hvor nøyaktig er denne tilnærmingen sannsynlig å være? For å finne ut, bruke resten sikt:

cos 1 = T 6 (x) + R 6 (x)

Legge tilhørende resten varige endringer denne approksimasjon inn i en ligning. Hereâ € ™ s formelen for resten sikt:

Beregning Feil Bounds for Taylor polynomer

Så å erstatte en for x gir deg:

Beregning Feil Bounds for Taylor polynomer


På dette punktet, youâ € ™ re tilsynelatende fast, fordi du dona € ™ t vet verdien av synd c Men du kan plugge inn c = 0 og c = 1 for å gi deg en rekke mulige verdier.:

Beregning Feil Bounds for Taylor polynomer


Husk at denne ulikheten oppstår på grunn av intervallet som er involvert, og fordi at sinus øker på dette intervallet. Du kan få et annet bundet med et annet intervall.

Dette forenkler å gi en svært tett tilnærming:

Beregning Feil Bounds for Taylor polynomer


Dermed spår resten begrep som den omtrentlige verdien beregnet tidligere vil være innenfor 0,00017 av den faktiske verdien. Og i virkeligheten

Beregning Feil Bounds for Taylor polynomer


Som du kan se, er den tilnærming innenfor feil grenser spådd av resten sikt.