Den Middelverdisetningen

October 6  by Eliza

Du trenger ikke middelverdien teoremet for mye, men det er en berømt teorem - en av de to eller tre viktigste i alle kalkulus - så du virkelig bør lære det. Heldigvis er det veldig enkelt.

Den Middelverdisetningen


En illustrasjon av middelverdien teoremet.

Her er den formelle definisjonen av teoremet.

Den m ean v alue t heorem: Hvis f er kontinuerlig på det lukkede intervallet [a, b] og deriverbar på det åpne intervallet (a, b), så finnes det en rekke c i (a, b) slik at

Den Middelverdisetningen


Nå for vanlig engelsk versjon. Først må du ta vare på den fine print. Kravene i teoremet at funksjonen være kontinuerlig og deriverbar bare garantere at funksjonen er en vanlig, glatt funksjon uten hull eller skarpe hjørner eller spisser. Men fordi bare noen få rare funksjoner har hull eller spisse svinger, du er ikke så ofte å bekymre deg for disse fine poeng.

Ok, så her hva teoremet betyr. De sekantlinje forbindelsespunktene (a, f (a)), og (b, f (b)) i figuren har en skråning gitt ved formelen:

Den Middelverdisetningen

Merk at dette er den samme som den høyre side av ligningen i middelverdien teoremet. Den deriverte ved et punkt er den samme som helningen av tangenten på dette punktet, slik at teorem bare sier at det må være i det minste ett punkt mellom a og b, hvor skråningen av tangenten er det samme som helningen sekantlinjens fra a til b.

Hvorfor må dette være slik? Her er en visuell argument. Tenk deg at du ta tak i sekantlinje kobler til (a, f (a)) og (b, f (b)), og deretter du skyver den opp, holde den parallelt til den opprinnelige sekantlinje. Kan du se at de to skjæringspunktene mellom dette skyve linje og funksjon - de to punktene som begynner på (a, f (a)) og (b, f (b)) - vil gradvis komme nærmere og nærmere hverandre inntil de kommer sammen ved (C, F (c))?

Hvis du heve linjen videre, du bryte vekk fra funksjonen helt. Ved denne siste skjæringspunkt, (c, f (c)), glidelinje berører funksjon ved et enkelt punkt og er således tangent til funksjonen der, og samtidig ha den samme helning som den opprinnelige skjæringslinjen.

Her er en helt annen type argument som bør appellere til sunn fornuft. Hvis funksjonen i figuren gir bilens kilometerstand som en funksjon av tid, da skråningen sekantlinjens fra a til b gir gjennomsnittshastigheten i løpet av denne tidsintervall, fordi dele distanse, f (b) - f (a), etter medgått tid, b - a, gir deg den gjennomsnittlige hastigheten. Det punkt (c, f (c)), garantert av middelverdien teoremet, er et punkt hvor den momentane hastighet - gitt av den deriverte f '(c) - er lik den gjennomsnittlige hastighet.

Nå forestille seg at du tar en kjøretur og gjennomsnittlig 50 miles per time. De Middelverdisetningen garanterer at du kommer nøyaktig 50 km / h for minst ett øyeblikk under stasjonen. Tenk på det. Gjennomsnittshastigheten kan ikke være 50 km / h hvis du går saktere enn 50 hele veien, eller hvis du går raskere enn 50 hele veien. Så, til gjennomsnittlig 50 km / h, enten du går nøyaktig 50 for hele stasjonen, eller du må gå saktere enn 50 for en del av stasjonen og raskere enn 50 andre ganger. Og hvis du kommer under 50 på ett punkt, og mer enn 50 på et senere tidspunkt (eller omvendt), må du treffe nøyaktig 50 minst en gang som du fart opp (eller tregere). Du kan ikke hoppe over 50 - som du kommer 49 ene øyeblikket da 51 neste - fordi hastigheter gå opp ved å skyve opp skalaen, ikke hoppe. Så, på et tidspunkt, glir ditt speedometer siste 50 mph, og i minst ett øyeblikk, du kommer nøyaktig 50 km / h. Det er alt middelverdien teoremet sier.