Forstå Intervall av Convergence

I motsetning til geometriske serien og p -serie, en makt serie ofte konvergerer eller divergerer basert på x-verdien. Dette fører til et nytt konsept når det arbeider med strøm serie: intervallet av konvergens.

Intervallet av konvergens for en potensrekke er det sett av x-verdier som den serien konvergerer.

Intervallet av konvergens er aldri tom

Hver makt serie konvergerer for noen verdi av x. Det vil si, er intervallet av konvergens for en potensrekke aldri den tomme mengden.

Selv om dette faktum har nyttige implikasjoner, det er faktisk ganske mye en no-brainer. For eksempel ta en titt på følgende makt serien:

Når x = 0, evaluerer denne serien til 1 + 0 + 0 + 0 + ..., så det åpenbart konvergerer mot 1. Tilsvar, ta en titt på denne makten serien:

Denne gangen, når x = -5, konvergerer rekken til 0, like trivielt som det siste eksempelet.

Legg merke til at i begge disse eksempler, konvergerer serien trivielt ved x = a for en potensrekke sentrert ved en.

Tre muligheter for intervallet av konvergens

Tre muligheter finnes for intervallet av konvergens av noen makt serie:

• Serien konvergerer bare når x = a.
• Serien konvergerer på noen intervall (åpen eller lukket i hver ende) sentrert ved en.
• Serien konvergerer for alle reelle verdier av x.

For eksempel anta at du ønsker å finne intervallet av konvergens for:

Denne kraften serien er sentrert på 0, så det konvergerer når x = 0. Bruke ratio test, kan du finne ut om det konvergerer for alle andre verdier av x For å starte ut, satt opp følgende grense.:

Å evaluere denne grensen, starter ut ved å kansellere x ⁿ i teller og nevner:

Deretter distribuere å fjerne parentesene i telleren:

Som det står, er denne grensen på formen

så gjelder L'Hopital regel, differensiere over variabelen n:

Fra dette resultatet, forteller forholdet testen du at serien:

• Konvergerer når -1 <x <1
• Divergerer når x <-1 og x> 1
• Kan konvergerer eller divergerer når x = 1 og x = -1

Heldigvis er det lett å se hva som skjer i disse to resterende tilfellene. Her er hva serien ser ut når x = 1:

Åpenbart divergerer serien. Tilsvar, her er hva det ser ut når x = -1:

Denne veksel serie svinger vilt mellom negative og positive verdier, så det også divergerer.

Som et siste eksempel anta at du ønsker å finne intervallet av konvergens for følgende serie:

Denne serien er sentrert på 0, så det konvergerer når x = 0. Det virkelige spørsmålet er om det konvergerer for andre verdier av x. Fordi dette er en alternerende serien, søker du forholdet test til den positive versjonen av den for å se om du kan vise at det er helt konvergent:

First off, vil du forenkle dette litt:

Neste, du utvider ut eksponentene og fakultetene:

På dette punktet, er det mulig med en mye avbrytes:

Denne gangen, faller grensen mellom -1 og 1 for alle verdier av x. Dette resultat angir at rekken konvergerer absolutt for alle verdier av x, slik at den vekslende serie konvergerer også for alle verdier av x.