Forstå Intervall av Convergence

October 26  by Eliza

I motsetning til geometriske serien og p -serie, en makt serie ofte konvergerer eller divergerer basert på x-verdien. Dette fører til et nytt konsept når det arbeider med strøm serie: intervallet av konvergens.

Intervallet av konvergens for en potensrekke er det sett av x-verdier som den serien konvergerer.

Intervallet av konvergens er aldri tom

Hver makt serie konvergerer for noen verdi av x. Det vil si, er intervallet av konvergens for en potensrekke aldri den tomme mengden.

Selv om dette faktum har nyttige implikasjoner, det er faktisk ganske mye en no-brainer. For eksempel ta en titt på følgende makt serien:

Forstå Intervall av Convergence


Når x = 0, evaluerer denne serien til 1 + 0 + 0 + 0 + ..., så det åpenbart konvergerer mot 1. Tilsvar, ta en titt på denne makten serien:

Forstå Intervall av Convergence


Denne gangen, når x = -5, konvergerer rekken til 0, like trivielt som det siste eksempelet.

Legg merke til at i begge disse eksempler, konvergerer serien trivielt ved x = a for en potensrekke sentrert ved en.

Tre muligheter for intervallet av konvergens

Tre muligheter finnes for intervallet av konvergens av noen makt serie:

  • Serien konvergerer bare når x = a.
  • Serien konvergerer på noen intervall (åpen eller lukket i hver ende) sentrert ved en.
  • Serien konvergerer for alle reelle verdier av x.

For eksempel anta at du ønsker å finne intervallet av konvergens for:

Forstå Intervall av Convergence


Denne kraften serien er sentrert på 0, så det konvergerer når x = 0. Bruke ratio test, kan du finne ut om det konvergerer for alle andre verdier av x For å starte ut, satt opp følgende grense.:

Forstå Intervall av Convergence

Å evaluere denne grensen, starter ut ved å kansellere x n i teller og nevner:

Forstå Intervall av Convergence


Deretter distribuere å fjerne parentesene i telleren:

Forstå Intervall av Convergence


Som det står, er denne grensen på formen

Forstå Intervall av Convergence


så gjelder L'Hopital regel, differensiere over variabelen n:

Forstå Intervall av Convergence


Fra dette resultatet, forteller forholdet testen du at serien:

  • Konvergerer når -1 <x <1
  • Divergerer når x <-1 og x> 1
  • Kan konvergerer eller divergerer når x = 1 og x = -1

Heldigvis er det lett å se hva som skjer i disse to resterende tilfellene. Her er hva serien ser ut når x = 1:

Forstå Intervall av Convergence


Åpenbart divergerer serien. Tilsvar, her er hva det ser ut når x = -1:

Forstå Intervall av Convergence


Denne veksel serie svinger vilt mellom negative og positive verdier, så det også divergerer.

Som et siste eksempel anta at du ønsker å finne intervallet av konvergens for følgende serie:

Forstå Intervall av Convergence


Denne serien er sentrert på 0, så det konvergerer når x = 0. Det virkelige spørsmålet er om det konvergerer for andre verdier av x. Fordi dette er en alternerende serien, søker du forholdet test til den positive versjonen av den for å se om du kan vise at det er helt konvergent:

Forstå Intervall av Convergence

First off, vil du forenkle dette litt:

Forstå Intervall av Convergence

Neste, du utvider ut eksponentene og fakultetene:

Forstå Intervall av Convergence


På dette punktet, er det mulig med en mye avbrytes:

Forstå Intervall av Convergence


Denne gangen, faller grensen mellom -1 og 1 for alle verdier av x. Dette resultat angir at rekken konvergerer absolutt for alle verdier av x, slik at den vekslende serie konvergerer også for alle verdier av x.