Hvordan bruke Differensiering å beregne maksimalt område på et Corral

March 8  by Eliza

Finne maksimums- eller minimumsverdien av en reell funksjon er en av de mest praktiske anvendelser av differensiering. For eksempel, må du kanskje finne det maksimale arealet av en innhegning, får en viss lengde på fekting.

Si at en rancher har råd til 300 meter av gjerder for å bygge en innhegning som er delt i to like rektangler. Hvilke dimensjoner vil maksimere innhegningen område? Den rancher ønsker å gi dyrene sine så mye plass som mulig ved hjelp av lengden på fekting at han har råd til. Som alle forretningsfolk, ønsker han mest igjen for sin buck:

  1. Uttrykk du ønsker maksimal, området, som en funksjon av de to ukjente, x og y.

    Hvordan bruke Differensiering å beregne maksimalt område på et Corral


    A = l · w

    = (2 x) (y)

    På grunn av at området er en funksjon av to variable, Trinn 1 har ytterligere to undertrinn.

  2. Bruk den gitte informasjonen til å knytte de to ukjente for hverandre.

    Fekting brukes i syv seksjoner, og dermed

    300 = x + x + x + x + y + y + y

    300 = 4 x + 3 y

  3. Løse denne ligningen for y, og plugge inn resultatet i y i ligningen fra trinn 1. Dette gir deg det du trenger - en funksjon av én variabel.

    Hvordan bruke Differensiering å beregne maksimalt område på et Corral

  4. Bestem domenet av funksjonen.

    Du kan ikke ha en negativ lengde på gjerdet, så x kan ikke være negativ, og de ​​fleste x kan være er 300 delt på 4 eller 75. Dermed domenet er 0 ≤ x ≤ 75.

  5. Finn de kritiske antall A (x) i det åpne intervallet (0, 75) ved å sette den deriverte lik null og løse.

    Hvordan bruke Differensiering å beregne maksimalt område på et Corral

    Fordi A 'er definert for alle x-verdiene, er 37.5 den eneste kritiske nummer.

  6. Beregner funksjonen ved det kritiske tall, 37,5, og ved endepunktene av intervallet, 0 og 75.

    Hvordan bruke Differensiering å beregne maksimalt område på et Corral

    Husk at å vurdere en funksjon ved endepunktene av et intervall er en standard skritt i å finne en absolutt ytterpunkt på intervallet. Men du kan ha hoppet over dette trinnet her hadde du lagt merke til at A (x) er en opp-ned parabel og at det derfor må det meste være høyere enn både endepunkt.

    Maksimumsverdien i intervallet er 3750, og dermed maksimerer en x -verdi på 37,5 fot innhegningen område. Lengden er 2 x, eller 75 meter. Bredden y, som er lik

    Hvordan bruke Differensiering å beregne maksimalt område på et Corral


    Plugge inn 37.5 gir deg

    Hvordan bruke Differensiering å beregne maksimalt område på et Corral


    eller 50 fot. Så rancher vil bygge en 75-fot med 50-fots innhegningen med et areal på 3750 kvadratmeter.

    Dette er en reell situasjon hvor det lønner seg å gjøre regnestykket. Hadde rancher ikke løst dette problemet, ville han trolig ha bygd en mindreverdig, mindre innhegningen. Mange vet at et kvadrat ofte maksimerer område (dette ville være tilfelle, for eksempel i en tilsvarende innhegningen problem hvor det ikke er dele gjerdet i midten av innhegningen). I så fall kan det rancher ha trodd at han skulle bygge en firkantet innhegningen, eller kanskje en rektangulær innhegning består av to firkanter. Disse to innhegninger ville ha totalt områder av henholdsvis 3600 kvadratmeter og 3673 kvadratmeter. Gitt, er det tapte området ikke betydelig i begge tilfeller, men hvorfor krampe dyrene sine enda litt uten grunn? Og, med andre problemer, ikke å finne en eksakt maksimum eller minimum kan ha mye mer betydelige konsekvenser.