Hvordan løse Systemer som har mer enn to ligninger

April 8  by Eliza

Større systemer av lineære ligninger involverer mer enn to ligninger som går sammen med mer enn to variabler. Disse større systemer kan skrives i form Ax + By + Cz +. . . = K der alle koeffisientene (og K) er konstanter. Disse lineære systemer kan ha mange variabler, og du kan løse disse systemene så lenge du har en unik ligningen per variabel. Med andre ord, mens tre variabler må tre ligninger for å finne en unik løsning, fire variabler må fire ligninger og ti variabler som må ha ti ligninger, og så videre. Du trenger ikke å bekymre deg med større systemer av ikke-lineære ligninger. Det ville være altfor komplisert for pre-calc, og større lineære systemer er komplisert nok. For disse typer systemer, de løsningene du finner variere mye:

  • Du kan finne noen løsning.
  • Du kan finne en unik løsning.
  • Du kan komme over uendelig mange løsninger.

Antallet løsninger man finner avhenger av hvor ligningene kommuniserer med hverandre. Fordi lineære systemer av tre variabler beskriver ligninger av flyene, ikke linjer (som to-variable likningene gjør), oppløsningen til systemet avhenger av hvor flyene ligge i tre-dimensjonalt rom i forhold til hverandre. Dessverre, akkurat som i systemer av ligninger med to variabler, du kan ikke fortelle hvor mange løsninger systemet har uten å gjøre problemet. Behandle hvert problem som om den har én løsning, og hvis den ikke gjør det, vil du enten komme fram til en uttalelse som er aldri sant (ingen løsninger) eller er alltid sant (som betyr at det er uendelig løsninger).

Vanligvis må du bruke eliminasjonsmetoden mer enn én gang for å løse systemer med mer enn to variabler og to ligninger.

For eksempel at en problem ber deg om å løse følgende system:

Hvordan løse Systemer som har mer enn to ligninger


Å finne løsningen (e), følger du denne fremgangsmåten:

  1. Se på koeffisientene til alle variablene og bestemme hvilken variabel er lettest å eliminere.

    Med eliminering, ønsker du å finne minste felles multiplum (LCM) for en av variablene, så gå med en som er den enkleste. I dette tilfellet bør du eliminere x variabel.

  2. Beskikket to av ligningene og eliminere en variabel.

    Ser vi på de to første ligningene, må du multiplisere toppen av -2 og legge den til den andre ligningen. Gjør dette, får du følgende:

    Hvordan løse Systemer som har mer enn to ligninger

  3. Beskikket ytterligere to ligninger og eliminere den samme variabel.

    Den første og den tredje ligninger lar deg enkelt eliminere x igjen. Multiplisere den øverste likningen med 6 og legge den til den tredje ligningen for å få følgende:

    Hvordan løse Systemer som har mer enn to ligninger

  4. Gjenta eliminering prosessen med dine to nye ligninger.

    Du skal nå ha to ligninger med to variabler:

    Hvordan løse Systemer som har mer enn to ligninger


    Du trenger å eliminere en av disse variablene. I dette eksemplet du eliminere y variabel ved å multiplisere den øverste ligningen med 4 og den nederste med 7, og deretter å tilsette de ligninger. Her er hva som gir deg:

    Hvordan løse Systemer som har mer enn to ligninger

  5. Løs den endelige ligningen for variabelen som gjenstår.

    Hvis 89 z = -356, z = -4.

  6. Erstatte verdien av variabelen løst inn i en av de likninger som har to variabler for å løse for en annen.

    I dette eksempelet bruker du ligningen -7 y - 11 z = 23. Erstatte, har du -7 y - 11 (-4) = 23, noe som forenkler til -7 y + 44 = 23. Nå fullføre jobben:

    Hvordan løse Systemer som har mer enn to ligninger

  7. Erstatte de to verdiene man har nå inn i en av de opprinnelige likninger for å løse med hensyn på det siste variabelen.

    I dette eksempelet bruker du den første ligningen i det opprinnelige systemet, som nå blir x + 2 (3) + 3 (-4) = -7. Forenkle for å få det endelige svaret:

    Hvordan løse Systemer som har mer enn to ligninger


    Løsningene på denne ligningen er x = -1, y = 3 og z = -4.

Denne prosessen kalles tilbake-substitusjon fordi du bokstavelig talt løse for en variabel og deretter jobbe deg bakover for å løse for de andre. I dette eksempel gikk man fra oppløsningen av en variabel i en ligning til to variable i to ligninger til det siste trinnet med tre variabler i tre ligninger. . . alltid beveger seg fra den mer enkle til det mer komplisert.