Hvordan området funksjonen fungerer

January 19  by Eliza

Området funksjonen er litt rart. Stålsett deg. Si at du har fått noen gamle funksjon, f (t). Tenk deg at på et t-verdi, kaller det s, du tegne en fast vertikal linje. (Merk at fordi denne linjen er fast, er s en konstant, ikke en variabel.) Sjekk ut figuren nedenfor.

Hvordan området funksjonen fungerer


Deretter legger du en bevegelig vertikal linje (den stiplede linjen i figuren) på t-verdien x. Du starter med den stiplede linjen på s ("s" er for startpunktet), og deretter dra den til høyre. Når du drar linjen, du feie ut et større og større område under kurven mellom s og x. Dette området er en funksjon av x, posisjonen av den bevegelige tråd.

I symboler, du skriver

Hvordan området funksjonen fungerer

Den dt er litt tilvekst langs t- akse - faktisk en uendelig liten tilvekst.

Her er et enkelt eksempel for å sørge for at du har et håndtak på hvordan området funksjonen fungerer. Forresten, ikke føler seg dårlig hvis du finner dette svært vanskelig å forstå - du har massevis av selskapet. Fortell at du har fått den enkle funksjonen f (t) = 10 - det er en horisontal linje ved y = 10. Hvis du feie ut området begynner på s = 3, får du følgende område funksjon:

Hvordan området funksjonen fungerer


Man kan se at området feiet ut 3 til 4 er 10 fordi, i å dra linjen fra 3 til 4, en feie ut et rektangel med en bredde 1 og en høyde på 10, som har et areal på 1 x 10, eller 10. Se figuren nedenfor.

Hvordan området funksjonen fungerer


Forestill deg nå at du drar linjen over med en hastighet på én enhet per sekund. Du starter ved x = 3, og du treffer 4 på 1 sekund, fem på to sekunder, seks på tre sekunder, og så videre. Hvor mye areal er du sveiper ut per sekund? Ti kvadrat enheter per sekund fordi hvert sekund du feie ut en annen en-av-10 rektangelet. Varsel - dette er stort - at fordi bredden av hvert rektangel du feie ut er 1, arealet av hvert rektangel - som er gitt av høyde ganger bredde - er det samme som sin høyde fordi noe ganger en er lik seg selv. Du vil se hvorfor dette er stort i et minutt.

Hvordan området funksjonen fungerer


Ok, du sitter ned? Du har nådd en av de store ah ha! Øyeblikkene i matematikkens historie. Husker at et derivat er en rate. Så, fordi hastigheten som den forrige området funksjon vokser er 10 kvadrat enheter per sekund, kan du si den deriverte er lik 10. Dermed kan du skrive -

Hvordan området funksjonen fungerer


Nå her er den kritiske ting: Legg merke til at denne prisen eller derivat av 10 er den samme som høyden av den opprinnelige funksjonen f (t) = 10 fordi når du går på tvers av en enhet, du feie ut et rektangel som er en av 10 som har et område på 10, høyden av funksjon.

Dette fungerer for noen funksjon, ikke bare horisontale linjer. Den neste figuren viser funksjonen g (t) og dens område funksjon

Hvordan området funksjonen fungerer


som feier ut området begynner på s = 2.

Hvordan området funksjonen fungerer

Du kan se at

Hvordan området funksjonen fungerer


er lik omtrent 20 fordi området feiet ut mellom 2 og 3 har en bredde på 1 og den buede toppen av "rektangel" har en gjennomsnittlig høyde på ca 20. Så, i løpet av dette intervallet, veksten av

Hvordan området funksjonen fungerer


er ca 20 kvadrat enheter per sekund. Mellom 3 og 4, du feie ut ca 15 kvadrat enheter av området fordi det er omtrent gjennomsnittlig høyde på g (t) mellom 15 og 4. Så, i løpet av andre nummer to - intervallet fra x = 3 x = 4 - den vekst av

Hvordan området funksjonen fungerer


er ca 15.

Frekvensen av området blir blåst ut under en kurve av et område funksjon ved et gitt x -verdi er lik høyden av kurven ved at x -verdi.

Selv om det er en litt løs - i diskusjonen av figuren over - si ting som "grovt" dette og "gjennomsnittlig" det, ikke bekymre deg; når du gjør regnestykket, virker det ut. Det som er viktig å fokusere på er at frekvensen av området som blir blåst ut under en kurve er den samme som høyden av kurven.